定位釉牙骨質界 CEJ

04.1一個只用形狀的模型

這一步只用遮罩的形狀，不涉及灰階。邊緣依 x′ 的正負分成左右兩側，各側在每個高度 y′ 的半寬 w(y′) 定義為輪廓到長軸的距離：以 1 像素分箱、每箱取離長軸最遠的像素。它是數像素數出來的，不碰邊界的幾何，所以遮罩邊緣的階梯狀鋸齒影響很小。

想法是把牙齒看成「一個錐狀的牙根，上面額外貼了一層琺瑯質」：牙根段的半寬隨高度線性緩增，過了 CEJ 之後斜率變陡。於是半寬剖面可以用連續的兩段線性函數描述：

牙根段斜率為 β₁、牙冠段為 β₁ + β₂，兩段在轉折點 c 相接，函數是連續的。c 就是該側的 CEJ 高度。

04.2擬合範圍

兩段線性只是牙齒輪廓的局部近似，必須把不符合假設的部分排除。先只保留該側最寬處（外形高點）以下：再往咬合面走寬度會反過來變小，那是第三種走勢，不屬於本模型。這個範圍也正好對應文獻所說的「邊緣嵴以下的牙冠」。

再從根尖端捨去這一段全長的 50%：根尖急遽收斂到一點，不符合「牙根是直錐體」的模型；若納入擬合，會把牙根段的斜率拉陡，連帶把轉折點往牙冠推。牙冠端不捨去。

本例 C 側的擬合範圍為 y′ ∈ [−62, 101]、D 側為 [−57, 108]（單位 px，圖 1a 的粗線）。

04.3把二維問題降成一維

式 (3) 對 β 是線性的、對 c 不是。但只要固定 c，β 就有最小平方的閉式解；代回之後，殘差平方和只剩 c 的函數：

候選 c 取剖面上的每個樣本點，間距一個像素，離散化誤差不超過這個尺度。實作只維護正規方程需要的幾個總和：(y′ − c)₊ 只在 y′ > c 時非零，所有含它的內積都能展開成「c 的多項式 × 右段的冪次和」，右段的後綴和預先算好，每個候選都是 O(1)，整體從 O(n²) 降為 O(n)，結果與逐一重解完全相同。

04.4兩個來自解剖的約束

β₂ > 0。牙冠只會往外隆起，第二段必定比第一段陡。少了這個約束，最小平方會找到「β₂ 為負、轉折落在牙根深處」的自洽錯誤解。

轉折以下至少佔一半的樣本。牙根比牙冠長，而剖面又已切掉最寬處以上，牙根佔比只會更高。少了這個約束，轉折可能滑到根尖附近，使牙根段只剩一小截。

本例 C 側牙根段斜率 β₁ = 0.061、牙冠段 0.288；D 側 0.136 與 0.322。過了 CEJ 之後斜率都陡了兩倍以上，正是模型假設的形態（圖 1b）。兩側的 ĉ 分別為 27.6 與 25.5（圖 1c）。

04.5驗證

論文以五位具三年以上臨床經驗的牙醫師獨立標註、多數決產生的位置作為參考標準（標註者間 ICC 0.89）。CEJ 是五個關鍵點中最準的：左側 MRE 3.55 px（正規化誤差 5.42%）、右側 4.36 px（6.69%）；95 百分位誤差分別為 7.08 與 10.57 px。以 10 px 為門檻，左側全部命中、右側 87.52%，到 15 px 兩側都是 100%。

CEJ 最準並不意外：它只依賴遮罩輪廓的斜率變化，而分割模型的邊界誤差（ASSD 2.80 px）正好是這個量級。換句話說，這一步幾乎沒有在分割誤差之上再疊加額外的誤差。