測定牙齒長軸

03.1把遮罩當成一群點

令遮罩內第 i 個像素的座標為 p_i = (x_i, y_i)，共 N 個。先求形心 μ 與共變異數矩陣 C：

C 是 2 × 2 的對稱矩陣，特徵分解得到 λ₁ ≥ λ₂ 與對應的單位特徵向量 v₁、v₂。λ 的意義是：所有像素沿該方向投影之後的變異數。v₁ 是像素散佈最開的方向，對細長的牙齒而言就是冠根方向，長軸即 L = μ + v₁t。本例 λ₁ ≈ 11,140、λ₂ ≈ 926，比值 12.0，長軸方向非常明確（圖 1a）。

03.2特徵向量沒有方向

v₁ 與 −v₁ 同為 C 的特徵向量，PCA 只能給出長軸這條直線，判斷不了哪一端是牙冠。直接假設牙冠朝上並不可靠：上顎牙在根尖片上牙冠朝下，傾斜的牙也可能接近水平。

本研究改用形態差異判定。依 (p_i − μ)·v₁ 的正負，以通過 μ、垂直長軸的直線把遮罩切成兩半，各自再做一次 PCA，取短軸與長軸的變異數比：

ρ 越大代表越接近等向（矮胖）。牙冠端由牙冠與牙頸構成，寬度與長度相近；牙根端是一根逐漸收斂的錐體。因此 ρ 較大的一半就是牙冠端。本例牙冠端 0.642、牙根端 0.132，相差近五倍（圖 1b、c）。

03.3實作上的三個決定

以 N 正規化。遮罩的前景像素就是這個形狀的全體，不是從中抽出的樣本，不需要無偏估計；特徵向量與任何特徵值的比值也都不受這個選擇影響。

直接分解 2 × 2 矩陣。與置中資料做 SVD 的結果一致到約 10⁻¹⁵，速度卻快兩倍以上——SVD 還得多算一個 N × 2 的左奇異向量矩陣，算完隨即丟棄。

ρ 用每一半自己的主軸。比值只反映該半部的形狀，與整顆牙的長軸是否略偏無關；而且特徵值的排序保證上界是 1。若改用固定方向投影，半部寬大於長時比值會超過 1。

03.4建立牙齒座標系

判定牙冠方向後，令 y′ 沿長軸指向牙冠，x′ 垂直於 y′ 並在畫面上指向右方，原點為形心 μ（圖 1d）。這個慣例只在程式裡決定一次：選到另一個垂直向量會讓整個座標系左右鏡像，而且不易察覺。

之後所有步驟都在這個座標系裡進行：根尖位於 y′ 最小處；左右兩側依 x′ 的正負區分，CEJ 的 C、D 與邊緣嵴的 A、B 都是兩側各自獨立求得的。兩端 ρ 的比值（本例 4.9）也記錄下來，作為方向判定的信心度；接近 1 代表兩端形狀相似，方向判定就不可信。